Problema trenes en direcciones perpendiculares

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Los trenes A y B parten de la misma ciudad al mismo tiempo en direcciones perpendiculares. El tren B viaja 5 km/h mas rápido que el tren A. Al cabo de 2 horas se encuentran a 50km de distancia. Halle la velocidad de cada tren.

SOLUCIÓN

Hacemos un esquema con el tren A viajando a x \: km/h y con el tren B viajando a (x+5) \: km/h en direcciones perpendiculares

Al cabo de dos horas:
– El tren A habrá recorrido 2x \: km
– El tren B habrá recorrido 2\cdot (x+5) \: km = 2x+10 \: km
– La distancia entre ambos es de 50 \: km

Aplicamos Pitágoras

(2x)^2 + (2x+10)^2 = 50^2

4x^2 + 4x^2+10^2+2\cdot 2x \cdot 10= 50^2

Observe que hemos aplicado las igualdades notables

4x^2 + 4x^2+100+40x = 2500

Es una ecuación de segundo grado que debemos ordenar

8x^2 +40x -2400 =0

Aunque podríamos aplicar la fórmula y resolverla ya, si observamos que todos los términos son múltiplos de 8, podemos simplificarla (dividiendo por 8)

x^2 +5x -300 =0

Aplicamos la fórmula

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+35}{2}=15\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot(-300)}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{1225}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-35}{2}=-20\end{array}

Si consideramos las velocidades como positivas, tenemos una única solución: x=15

– El tren A viaja a 15 \: km/h
– El tren B viaja a 20 \: km/h