07 - Dependencia lineal y base

Decimos que un vector, \vec{u}, depende linealmente de otro vector, \vec{v} , o que \vec{u} y \vec{v} son linealmente dependientes si existe un escalar, \alpha (un número), de tal manera que: \vec{u} = \alpha \cdot \vec{v} Por el contrario, si no existe ningún número que cumpla esa condición, diremos que \vec{u} no depende linealmente de \vec{v}, o que \vec{u} y \vec{v} son linealmente independientes. En la práctica es fácil identificarlo: - Gráficamente: Si dos vectores son paralelos, son linealmente dependientes. - Analíticamente (coordenadas): Si sus coordenadas correspondientes son proporcionales, entonces son linealmente dependientes. Dos vectores, \vec{u} y \vec{v} , forman una {{base}} en el plano si son linealmente independientes. · Diremos que el vector \vec{w} se puede expresar como combinación lineal (depende linealmente) de los vectores \vec{u} y \vec{v} si existen dos escalares \alpha y \beta de tal manera que: \vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdpt \vec{v} · Si dos vectores forman una base, entonces cualquier otro vector \vec{w} se puede obtener como combinación lineal de \vec{u} y \vec{v}. En este caso, si \vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdpt \vec{v}, entonces diremos que \vec{w} tiene coordenadas (\alpha, \beta) respecto de la base formada por \vec{u} y \vec{v}. Si una base está formada por dos vectores linealmente independientes ortogonales, la llamaremos base ortogonal. · Si los dos vectores que forman la base, además de ser ortogonales, son unitarios, diremos que es una base ortonormal. La base ortonormal más sencilla se conoce con el nombre de base canónica y está formada por los vectores \vec{i}=(1,0) y \vec{j}=(0,1). · Un sistema de referencia en el plano, es una terna formada por un punto, O, que llamaremos origen del sistema de referencia y una base. Si la base es ortogonal (ortonormal), el sistema de referencia será ortogonal (ortonormal). El sistema de referencia que utilizamos normalmente es el compuesto por el punto O = (0,0) y la base canónica formada por \vec{i}=(1,0) y \vec{j} =(0, 1), es decir, R= \{O;\vec{i},\vec{j}\}