08 - Producto escalar. Ángulo de dos vectores. Paralelismo y Perpendicularidad

- El producto escalar de dos vectores \vec{u}=(u_1,u_2) y \vec{v}=(v_1,v_2) es un número. La fórmula que permite calcular su valor es:

\vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u},\vec{v} )

donde |\vec{u}| y |\vec{v}| son los módulos de los dos vectores y \cos (\vec{u},\vec{v}) indica el coseno del ángulo que forman los orígenes de ambos vectores.

- Podemos calcular el ángulo que forman dos vectores despejando en la fórmula anterior:

\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

- Si conocemos las componentes (coordenadas) de los vectores \vec{u}=(u_1,u_2) y \vec{v}=(v_1,v_2) , el producto escalar se puede obtener de manera más fácil usando la fórmula:

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2

- Dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas sean proporcionales.
Ejemplo: los vectores \vec{u}=(2,3) y \vec{v}=(4,6) son paralelos

- Dos vectores, no nulos, \vec{u}=(u_1,u_2) y \vec{v}=(v_1,v_2) son ortogonales (perpendiculares), si y solo si su producto escalar vale 0. Es decir:

\vec{u} \perp  \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0

Un vector ortogonal al vector (a,b) es el vector (-b,a) (cambiamos de orden sus componentes y le cambiamos el signo a una de ellas)