Ecuaciones Exponenciales

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Resuelve la ecuación
9^x - 3^x - 6 = 0

SOLUCIÓN

9^x - 3^x - 6 = 0


Expresamos todo en potencias de la misma base

\left(3^2\right)^x - 3^x - 6 = 0


3^{2x} - 3^x = 6


No podemos expresar "6" como potencia de 3
En el lado izquierdo no podemos agrupar las potencias porque van sumando/restando.

En estos casos, se usa un cambio de variable
\fbox{3^x = t}
Entonces

(3^x)^2 - 3^x = 6


t^2 - t - 6 = 0


Resolvemos la ecuación de2º grado
\begin{array}{ccc} & & t_1 = \frac{1+5}{2}=3\\ & \nearrow &\\ t=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot1\cdot(-6)}}{2 \cdot1}= \frac{1\pm \sqrt{25}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &t_2 = \frac{1-5}{2}=-2\end{array}

Para t=3 como \fbox{3^x = t} tenemos:
3^x = 3 \longrightarrow \fbox{x=1}

Para t=3
3^x = -2 que no tiene solución, pues 3 elevado a algo siempre va a dar positivo.