Hallar valores que hagan continua la función - Funciones 1º BACH. CIENCIAS EJERCICIOS de Matemáticas

Hallar valores que hagan continua la función

(#1811) : Funciones : 1º BACH. CIENCIAS : EJERCICIOS de Matemáticas

Halla los valores de $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2+2x-1 & si & x < 0 \\ ax+b & si & 0 \leq x < 1 \\ 2 & si & x \geq 1 \end{array} \right.$

Ver explicación: Vídeo nº 37 de CiberMatex

Solución:

En $(-\infty, 0)$ es continua por ser polinómica
En $(0, 1)$ es continua por ser polinómica
En $(1, +\infty)$ es continua por ser polinómica

Estudiamos la continuidad en los puntos que separan los trozos:

Veamos en $x=0$
$f(0) = a \cdot 0 + b = b$
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) =\lim_{x \rightarrow 0} (x^2+2x-1) = -1$
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) =\lim_{x \rightarrow 0} (ax+b) = b$
Para que haya límite, ambos límites laterales deben ser iguales, por tanto $\fbox{b=-1}$

Veamos ahora en $x=1$
$f(1) = 2$
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) =\lim_{x \rightarrow 1} (ax+b) = a+b$
$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) =\lim_{x \rightarrow 1} (2) = 2$
Para que haya límite, ambos límites laterales deben ser iguales, por tanto $a+b=2$
Como $b=-1$ , $a-1=2 \longrightarrow$ $\fbox{a=3}$

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