posiciones_relativas

Ejercicios resueltos y propuestos de

Posiciones relativas en el espacio

(17) ejercicios de posiciones_relativas

(#3909) Ver Solución Seleccionar

Considere las siguientes rectas:

$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1}$ y
$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.
(#4202) Ver Solución Seleccionar

A la empresa de obras públicas North SA se le ha encargado la construcción de una autovía que una dos importantes ciudades andaluzas. El recorrido de la misma pasa por una montaña y por razones económicas se ha decidido atravesarla construyendo un túnel. Tú puedes echar una mano a los ingenieros implicados en el proyecto a la hora de afrontar los cálculos matemáticos necesarios para realizar la obra.

Se pide:

1. El túnel sigue la trayectoria marcada por los puntos A(-1,1,1) y B(1,2,1). Halla la recta que pasa por estos, a la cual vamos a llamar r.

2. Las laderas de la montaña vienen dadas por lo planos cuyas ecuaciones son:
$\alpha \equiv -9x-y+6z=21$ y $\beta \equiv 9x-y+6z=21$
Halla los puntos de intersección de la recta r con los planos, vamos a nombrar a estos puntos como E(entrada) y S(salida).

3. Halla la longitud del túnel (distancia entre E y S).

4. En la cima de la montaña se va a trazar otra carretera cuya trayectoria viene determinada por la intersección de los planos $\alpha$ y $\beta$ . Halla la intersección de los mismos, a la cual vamos a llamar s.

5 Para la ventilación del túnel se va a crear un pozo de impulsión que conecta la cima de la montaña con el túnel y se quiere saber cuál es la longitud del mismo, el pozo sigue la perpendicular que une las rectas r y s. Halla la distancia entre ambas rectas.
(#4200) Ver Solución Seleccionar

Estudia la posición relativa de la recta r y el plano $\alpha$ en los siguientes casos:

a) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0$

b) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0$
(#4198) Ver Solución Seleccionar

Considera la recta r que pasa por el punto $A(1,-2,5)$ y lleva la dirección del vector $\vec{v}=(-2,-2,0)$
Se pide:

a) Halla su ecuación paramétrica.

b) Halla su ecuación continua.

c) Halla su ecuación implícita.

d) Estudia la posición relativa de la recta r respecto a la s:
$\frac{x-3}{-2}=\frac{y-3}{2}=z-1$
(#3544) Ver Solución Seleccionar

Considera los planos $\pi_1$ , $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones
$x+y=1$ , $ay+z=0$ y $x+(1+a)y+az = a+1$
– a) ¿Cuánto ha de valer $a$ para que no tengan ningún punto en común?
– b) Para $a=0$ , determina la posición relativa de los planos.

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