Continuidad de las principales funciones

Continuidad de las principales funciones

Las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en todo su dominio.

- Ejemplo: las funciones polinómicas tienen como domnio todo R, por tanto son continuas en todo R
- Ejemplo 2: las funciones raciones son continuas en todo su dominio (todo R excepto los puntos que anulan el denominador)

Continuidad de las funciones a trozos

Recordemos que la continuidad de una función se puede entender como el poder dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Las funciones a trozos tienen varias definiciones (una para cada trozo), por lo que es posible que no haya continuidad entre un trozo y el siguiente.
Para comprobarlo tenemos que aplicar la definición de continuidad en un punto, a los puntos que separan dos trozos, fijándonos en lo siguiente:

- Mirar bien los signos < , \leq , > , \geq de la definición de los trozos (a la hora de calcular la imagen)
- Al calcular el límite en estos puntos que separan trozos, debemos calcular límites laterales.

Veamos un ejemplo:

Estudie la continuidad de la función


f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
3x+3 &   si  & x \leq 1 \\
\\ x^2+5 &  si &  x >1
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN:
En el intervalo (-\infty, 1) es continua por ser polinomica
En el intervalo (1, +\infty) es continua por ser polinomica
En el punto x=1 (punto de separación de ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto:

- 1) Comprobamos si hay imagen
 f(1) = 3 \cdot 1 +3 = 6

- 2) Calculamos los límites laterales
\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} x^2+5 = 1^2 + 5 = 6
\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} 3x+3 = 3 \cdot 1 + 3 = 6
La 2ª condición también la cumple: existe el límite y vale 6

- 3) La 3ª condición también se cumple (límite e imagen existen y valen lo mismo).

Por tanto podemos decir que la función es continua en x=1

Concluimos, como resumen, que la función es continua en todo R

Si dibujamos la gráfica, podemos ver como ambos trozos se unen (y por tanto hay continuidad)