Continuidad de las principales funciones

Continuidad de las principales funciones

Las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en todo su dominio.

 Ejemplo: las funciones polinómicas tienen como domnio todo R, por tanto son continuas en todo R
 Ejemplo 2: las funciones raciones son continuas en todo su dominio (todo R excepto los puntos que anulan el denominador)

Continuidad de las funciones a trozos

Recordemos que la continuidad de una función se puede entender como el poder dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Las funciones a trozos tienen varias definiciones (una para cada trozo), por lo que es posible que no haya continuidad entre un trozo y el siguiente.
Para comprobarlo tenemos que aplicar la definición de continuidad en un punto, a los puntos que separan dos trozos, fijándonos en lo siguiente:

 Mirar bien los signos < , \leq , > , \geq de la definición de los trozos (a la hora de calcular la imagen)
 Al calcular el límite en estos puntos que separan trozos, debemos calcular límites laterales.

Veamos un ejemplo:

Estudie la continuidad de la función

 
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              3x+3 &   si  & x \leq 1 \\
              \\ x^2+5 &  si &  x >1
              \end{array}
    \right.

SOLUCIÓN:
En el intervalo (-\infty, 1) es continua por ser polinomica
En el intervalo (1, +\infty) es continua por ser polinomica
En el punto x=1 (punto de separación de ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto:

 1) Comprobamos si hay imagen
 f(1) = 3 \cdot 1 +3 = 6

 2) Calculamos los límites laterales
\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} x^2+5 = 1^2 + 5 = 6
\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} 3x+3 = 3 \cdot 1 + 3 = 6
La 2ª condición también la cumple: existe el límite y vale 6

 3) La 3ª condición también se cumple (límite e imagen existen y valen lo mismo).

Por tanto podemos decir que la función es continua en x=1

Concluimos, como resumen, que la función es continua en todo R

Si dibujamos la gráfica, podemos ver como ambos trozos se unen (y por tanto hay continuidad)