Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea

- Podemos calcular un determinante, de cualquier orden, desarrollándolo por los elementos de una línea (fila o columna).
- Usaremos este método para determinantes de orden 4 o superior.
- También podemos usarlo para determinantes de orden 3 (aunque en este caso tenemos como alternativa la Regla de Sarrus.

- El método se basa en la siguiente propiedad: «Un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos».
- Podemos desarrollarlo por la fila o columna que elijamos. En la práctica se elige la línea que contenga más ceros (para hacer menos cálculos)

Ejemplo: Desarrollamos un det. por los elementos de la primera fila

\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}
\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}
\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13}

Ejemplo numérico:

\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2
\\ 3 & 4 & 5
\\ 6 & 7 & 8
\end{array}
\right| =
0 \cdot
\left|
\begin{array}{cc}
4 & 5
\\ 7 & 8
\end{array}
\right|
- 1 \cdot
\left|
\begin{array}{cc}
3 & 5
\\ 6 & 8
\end{array}
\right|
+ 2 \cdot
\left|
\begin{array}{cc}
3 & 4
\\ 6 & 7
\end{array}
\right| =
0 - 1\cdot(-6) + 2 \cdot (-3) = 0

NOTA: Hemos cambiado el signo del segundo sumando porque 1+2 es impar.