Recta perpendicular a otras dos rectas

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Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a cada una de las rectas \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3} y x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}

SOLUCIÓN

En primer lugar deberíamos estudiar la posición relativa de ambas rectas.

– Si las rectas son paralelas o coincidentes, para encontrar una recta perpendicular a ambas, basta con que sea perpendicular a una de ellas

– Si las rectas se cruzan o son secantes, para encontrar una recta perpendicular a ambas, podemos usar como vector director el producto vectorial de los vectores directores de las rectas.

La recta \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3} tiene como vector director \vec{u}=(2,-2,3)

La recta x+4=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2} tiene como vector director \vec{v}=(1,5,-2)

Los vectores \vec{u} y \vec{v} no son proporcionales, por tanto las rectas no son ni coincidentes ni paralelas (se cruzan o se cortan).

Recordemos que el vector producto vectorial \vec{u} \times \vec{v} es perpendicular a \vec{u} y a \vec{v}, Por tanto \vec{u} \times \vec{v} va a ser el vector director de la recta que nos piden.
Como además nos dan un punto por donde pasa, podemos determinar completamente la recta que nos piden.

\vec{u} \times \vec{v}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & -2 \end{array} \right| = -11\vec{i} + 7\vec{j} + 12\vec{k}

Con el vector obtenido (-11, 7, 12) y el punto que nos dan (7,-2,9) podemos construir la ecuación de la recta que nos piden, por ejemplo en ecuación continua

\frac{x-7}{-11} = \frac{y+2}{7} = \frac{z-9}{12}