Ejercicio área bajo curva 3986

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Calcula el área encerrada entre la función f(x)=x^3-4x^2+3x y las rectas x=0 y x=4

SOLUCIÓN

Calculamos los puntos de corte con el eje OX

f(x)=x^3-4x^2+3x = 0 \longrightarrow x \cdot (x^2-4x+3)=0

Una solución es x=0
Resolvemos la ecuación x^2-4x+3=0 y obtenemos

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{4+2}{2}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot1\cdot3}}{2 \cdot1}= \frac{4\pm \sqrt{4}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{4-2}{2}=1\end{array}

Por tanto los punto de corte son x=0 \: , \: 1 \: , \: 3

Entonces el área es:

A = \left| \int_0^1 (x^3-4x^2+3x)dx \right| + \left| \int_1^3 (x^3-4x^2+3x)dx \right| +\left| \int_3^4 (x^3-4x^2+3x)dx \right| =

\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_0^1=\left( \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right)-\left( 0 \right)=\frac{5}{12}

\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_1^3=\left( \right)-\left( \right)=\frac{-9}{4}-\frac{5}{12}=\frac{-32}{12}=\frac{-8}{3}

\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_3^4=\left( \right)-\left( \right)=\frac{8}{3} - \frac{-9}{4}=\frac{59}{12}

A = \left| \frac{5}{12} \right| + \left| \frac{-8}{3} \right| + \left| \frac{59}{12} \right| = \frac{5}{12} + \frac{8}{3}+\frac{59}{12} = \frac{96}{12}=\fbox{8 \: u^2}