Ejercicio vectores 4077

Dados los vectores \vec{u}=(-2,1,5) , \vec{v}=(3,-1,7) y \vec{w}=(1,2,0) , se pide:

- a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
- b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
- c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
- d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
- e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}

SOLUCIÓN

- a) ¿Son linealmente dependientes los 3 vectores?
\left| \begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 5 \\
3 & -1 & 7 \\
1 & 2 & 0
\end{array} \right| = 70
Como el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes

- b) Calula \vec{u} \times \vec{w} (producto vectorial)
\vec{u} \times \vec{w}= \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\
-2 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0
\end{array} \right| = -10\vec{i}+5\vec{j}-5\vec{k}

Por tanto \vec{u} \times \vec{w} = (-10,5,-5)

- c) Encuentra dos vectores paralelos al vector \vec{u}
Para encontrar vectores paralelos, basta con crear vectores proporcionales, por ejemplo (-4,2,10) , (-6,3,15)

- d) Encuentra dos vectores perpendiculares al vector \vec{u}
(1,2,0) , (2,4,0)

- e) Halla el ángulo que forman los vectores \vec{u} y \vec{v}

La fórmula del producto escalar

\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot  |\vec{v}| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})

nos permite averiguar el ángulo que forman dos vectores, despejando el coseno:

cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot  |\vec{v}|}

cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot  |\vec{v}|}

cos(\alpha)=\frac{(-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 5 \cdot 7}{\sqrt{(-2)^2+1^2+5^2} \cdot \sqrt{3^2+(-1)^2+7^2}}

cos(\alpha)=\frac{45}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{114}} = \frac{28}{ \sqrt{1770}}

Por tanto el ángulo es el siguiente:
\alpha = arc \: cos  \frac{28}{ \sqrt{1770}}