Ejercicios geometría en el espacio 4080

Dados los puntos A(1,-2,5), B(1,0,1) y C(0,-1,1), se pide:

- a) Ecuación del plano \pi que pasa por A, B y C
- b) Vector normal al plano \pi
- c) Ecuación de una recta perpendicular al plano \pi y que pase por el punto (0,0,1)

SOLUCIÓN

- a) Un plano se puede determinar con un punto y dos vectores.
Punto: A(1,-2,5)
Vectores \vec{AB}=(0,2,-4) y \vec{AC}=(-1,1,-4)

\left| \begin{array}{ccc}
x-1 & y+2 & z-5 \\
0 & 2 & -4 \\
-1 & 1 & -4
\end{array} \right| = 0

Resolvemos el determinante y obtenemos la ecuación del plano:
-4x+4y+2z+2=0

- b) De la ecuación anterior obtenemos el vector normal (-4,4,2)

- c) Para determinar una recta necesitamos vector y punto.
El punto nos lo da el enunciado: (0,0,1)
Una recta perpendicular a un plano, tiene como vector director el vector normal al plano, en este caso: (-4,4,2)

Por tanto, una ecuación de la recta sería:

\frac{x}{-4}=\frac{y}{4}=\frac{z-1}{2}