Extremos (máximos y mínimos) de una función

· Una función f tiene un máximo relativo en el punto x=a si f(a) es mayor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=a, tanto por la derecha como por la izquierda de él.

· Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x=b si f(b) es menor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=b, tanto por la derecha como por la izquierda de él.

Calcular los extremos de una función continua

Si la función es continua y hemos estudiado su monotonía, podemos basarnos en la monotonía para obtener los extremos.

- Ejemplo: Si f es una función continua en R, tal que es creciente en (-\infty,3) y decreciente en (3, +\infty), entonces tiene un máximo en el punto x=3

Calcular los extremos de una función con derivadas

Para calcular los extremos de una función:

- 1) Calculamos su primera y segunda derivadas
- 2) Resolvemos la ecuación f'(x)=0. Las soluciones son los candidatos a máximo o mínimo.
- 3) A cada solución "s" le aplicamos la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo:

Si f''(s) >0  \longrightarrow MIN \left(s, f(s) \right)
Si f''(s) <0  \longrightarrow MAX \left(s, f(s)\right)

Observe que si la derivada segunda es cero no podemos afirmar nada.

En el siguiente enlace puede ver un ejercicio resuelto:

Ver Ejemplo RESUELTO