Funciones Optimización

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Disponemos de 48 metros de valla de alambre. Queremos cercar un rectángulo de superficie la mayor posible. ¿Cuáles serían las dimensiones del rectángulo?

SOLUCIÓN

En la imagen tenemos el rectángulo a vallar.

El perímetro a vallar es 2x+2y=48

El área es x \cdot y, que es la función a maximizar y que debemos dejar con una sola variable.

2x+2y=48 \longrightarrow 2y=-2x+48 \longrightarrow y=-x+24

Por tanto, podemos expresar el área como:

A(x) =x \cdot y =x \cdot (-x+24) = -x^2+24x

La buscamos un máximo:

A(x) =-x^2+24x
A^{\prime}(x) =-2x+24

A^{\prime}(x) =0 \longrightarrow -2x+24=0 \longrightarrow x=12

Como A^{\prime \prime}(x) =-2 es negativa siempre, efectivamente se trata de un máximo (x=12)

Por tanto las dimensiones serían \textcolor{blue}{12\:m \times 12\:m}