Hallar razones trigonométricas a partir de la tangente

Ver explicación: Vídeo nº 1839 de CiberMatex

Sabiendo que tg \: \alpha = \frac{2}{3} y que 0 \leq \alpha \leq 90^o , halla cos \:(180^o + \alpha)

SOLUCIÓN

La estrategia de este problema se divide en dos partes:
- primero calculamos cos \:(\alpha) a partir de tg \: \alpha
- en segundo lugar calculamos cos \:(180^o + \alpha) a partir de cos \:(\alpha)

La fórmula que relaciona coseno y tangente es tg^2 \: \alpha  + 1 = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}
Usando el dato del enunciado tendríamos:
\left( \frac{2}{3} \right)^2 \:  + 1 = \frac{1}{cos^2 \: \alpha}
Despenado quedaría: cos \: \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{13}}

Como es un ángulo del primer cuadrante (0 \leq \alpha \leq 90^o), tomamos la solución positiva: cos \: \alpha = + \sqrt{\frac{9}{13}}

Los ángulos \alpha y 180 + \alpha tienen cosenos iguales pero de distinto signo, por tanto:

cos \:(180^o + \alpha) = - \sqrt{\frac{9}{13}}