Hallar valores que hagan continua la función

Ver explicación: Vídeo nº 37 de CiberMatex

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:


f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
x^2+2x-1 &   si  & x < 0 \\
ax+b &  si & 0 \leq x < 1 \\
2  & si & x \geq 1
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

En (-\infty, 0) es continua por ser polinómica
En (0, 1) es continua por ser polinómica
En (1, +\infty) es continua por ser polinómica

Estudiamos la continuidad en los puntos que separan los trozos:

Veamos en x=0
- f(0) = a \cdot 0 + b = b
- \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) =\lim_{x \rightarrow 0}  (x^2+2x-1) = -1
- \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) =\lim_{x \rightarrow 0}  (ax+b) = b
Para que haya límite, ambos límites laterales deben ser iguales, por tanto \fbox{b=-1}

Veamos ahora en x=1
- f(1) = 2
- \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) =\lim_{x \rightarrow 1}  (ax+b) = a+b
- \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) =\lim_{x \rightarrow 1}  (2) = 2
Para que haya límite, ambos límites laterales deben ser iguales, por tanto a+b=2
Como b=-1, a-1=2 \longrightarrow \fbox{a=3}