Inferencia Estadística

Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.

 a) Determine un intervalo de confianza, al 99\% , para la cantidad promedio de kilómetros recorridos.
 b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea superior a 500 km, con igual confianza?

SOLUCIÓN

a) Nos piden un intervalo de confianza para la media, por lo que debemos usar la fórmula:

I = \left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

Los datos que aporta el enunciado son:

n=100
\overline{x}=15200
\sigma=2250
Confianza: 99\%

Calculamos el valor crítico z_c para el 99\%

P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de z_c=2.575

Ya tenemos todos los datos. Ahora podemos calcular el intervalo de confianza

\left( \overline{x}-Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},  \overline{x}+Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)

\left(15200-2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}},  15200+2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{100}}\right)

\left(15200-579.375,  15200+579.375\right) =\fbox{(14620.625,15779.375)}

b) Si queremos que el error sea E \leq 500 entonces como

E=Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, tendremos

Z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 500

2.575 \cdot \frac{2250}{\sqrt{n}} \leq 500

2.575 \cdot 2250 \leq 500 \cdot \sqrt{n}

\frac{2.575 \cdot 2250}{500} \leq \sqrt{n}

11.5875 \leq \sqrt{n}

11.5875^2 \leq n

134.27 \leq n

Para que el error no sea superior a 500, el tamaño de la muestra debe ser \fbox{n \geq 135}