Integrales Racionales con raíces reales múltiples

Cuando al factorizar el denominador obtenemos raíces reales múltiples (al cuadrado, al cubo, etc.), la descomposición en suma de fracciones es de la siguiente forma:

\frac{P(x)}{(x-a)^3} = \frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3}

Como el grado de multiplicidad es 3 (al cubo), debemos poner 3 fracciones con denominadores elevado a uno, a dos y a tres.

Ejemplo: \int \frac{2x}{(x-1)^3}dx

\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}

Realizamos la suma

\frac{2x}{(x-1)^3} = \frac{A(x-1)^2 +B(x-1)+C}{(x-1)^3}

Igualamos numeradores:

2x = A(x-1)^2 +B(x-1)+C

Damos valores a x: 1, 0, 2

- Si x=1 \longrightarrow 2=C
- Si x=0 \longrightarrow 0=A-B+C \longrightarrow A-B=-2
- Si x=2 \longrightarrow 4=A+B+C \longrightarrow A+B=2

Resolvemos el sistema y obtenemos A=0 y B=2

Por tanto:

\int \frac{2x}{(x-1)^3}dx = \int \frac{0}{x-1}dx + \int \frac{2}{(x-1)^2}dx +\int \frac{2}{(x-1)^3}dx=

=2 \cdot \int (x-1)^{-2}dx+2 \cdot \int (x-1)^{-3}dx

=2 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + 2 \cdot \frac{(x-1)^{-2}}{-2}+C

Las integrales de cada fracción son inmediatas de tipo Neperiano o de tipo Potencia