Integrales Racionales con raíces reales simples y múltiples

Cuando al factorizar el denominador de una fracción algebraica aparecen raíces reales simples y raíces reales múltiples, debemos combinar ambos métodos: raíces simples y raíces múltiples.

Ejemplo:

\int \frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2}dx

\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}

Realizamos la suma en la parte derecha del signo igual

\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}

Igualamos numeradores:

x+2 = A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)

Damos 3 valores arbitrarios a x: x=1 y x=-1 (las raíces) y otro fácil x=0 - Si x=1 \Longrightarrow 3=4A \Longrightarrow A=\frac{3}{4}

- Si x=-1 \Longrightarrow 1=-2C \Longrightarrow C=\frac{-1}{2}
- Si x=0 \Longrightarrow 2=A-B-C \Longrightarrow 2=\frac{3}{4}-B+\frac{1}{2} \Longrightarrow B=\frac{-3}{4}

Por tanto:

\frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{3/4}{x-1} + \frac{-3/4}{x+1} + \frac{-1/2}{(x+1)^2}

Y ahora la integral resultante es una suma de inmediatas

\int \frac{x+2}{(x-1)(x+1)^2}dx =\int \frac{3/4}{x-1}dx + \int \frac{-3/4}{x+1}dx + \int \frac{-1/2}{(x+1)^2}dx=

=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-1}dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=

=\frac{3}{4}Ln|x-1| - \frac{3}{4} Ln|x+1| + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1} + C