Problemas sistemas 3 ecuaciones

El dueño de una librería va a poner a la venta libros de tres géneros diferentes: idiomas, infantil e informática.
El dueño se ha fijado como objetivo vender 150 ejemplares y quiere obtener unos ingresos por venta de 2300 €. El precio de los libros de idiomas los ha fijado a 20€/libro, los de informática a 15€/libro y a los de infantil les va a hacer un descuento del 30% sobre 10€ que costaban el año anterior. Además sabe por ventas de otros años, que el número de libros de temática infantil va a ser la mitad de los libros de temática de idiomas. Teniendo en cuenta las condiciones descritas, ¿cuántos ejemplares debería vender de cada género para obtener su objetivo?
A continuación te pedimos que respondas a cada una de las siguientes cuestiones.
1.- Identifica y nombra cada una de las incógnitas que aparecen.
2.- Determina el precio que cuesta cada libro según su género, teniendo en cuenta que para calcular el precio de los libros de temática infantil se le va a aplicar el 30% de descuento al precio de venta del año pasado que fue de 10€ cada libro.
3.- Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
4.- Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de Gauss matricialmente.

SOLUCIÓN

Asignación de incógnitas:
- nº de libros de idiomas: x
- nº de libros de infantil: y
- nº de libros de informática: z

Precios:
- libro de idiomas: 20 €
- libro de infantil: 7 € (10 · 0.70)
- libro de informática: 15 €

Ecuaciones:
- En total 150 libros: x+y+z=150
- En total 2300 €: 20x+7y+15z=2300
- nº libros infantil = mitad nº libros idiomas: y=\frac{1}{2} \cdot x

Quitando denominadores y ordenando la última ecuación el sistema quedaría:

\left.
\begin{array}{ccccc}
x &+ y&+ z & = & 150 \\
20x& + 7y & +15z&= & 2300 \\
-x&+2y& & = & 0
\end{array}
\right\}

Resolvemos por Gauss

\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 20 & 7 & 15 & 2300
\\ -1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)

- 20 \cdot F_1 - F_2 \rightarrow F_2
- F_1 + F_3 \rightarrow F_3


\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 0 & 13 & 5 & 700
\\ 0 & 3 & 1 & 150
\end{array}
\right)

- 3 \cdot F_2 -  13 \cdot F_3 \rightarrow F_3


\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 150
\\ 0 & 13 & 5 & 700
\\ 0 & 0 & 2 & 150
\end{array}
\right)

Pasamos a ecuaciones obteniendo un sistema escalonado (que se resuelve de abajo hacia arriba)

\left.
\begin{array}{ccccc}
x &+ y&+ z & = & 150 \\
& + 13y & +5z&= & 700 \\
&& 2z& = & 150
\end{array}
\right\}

Al resolver el sistema obtenemos como soluciones:
x= 50
y= 25
z= 75

Por tanto debe vender 50 libros de idiomas, 25 de infantil y 75 de informática