Propiedades de de los determinantes

Propiedades de los determinantes

Conocer las propiedades de los determinantes nos facilitará su cálculo

 El det. de una matriz es igual al det. de su traspuesta
|A| = |A^t|

 El det. de la matriz inversa es el inverso del det. de la matriz original
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

 El det. de un producto de matrices es igual al producto de los det. de ambas matrices
|A \cdot B| = |A| \cdot |B|

 El det. de una cte k por una matriz A es k^n \cdot |A| , donde n es el orden de la matriz A
|kA| = k^{n} \cdot |A| , siendo A de orden n

 Si en un det. intercambiamos dos líneas (filas o columnas) el det. cambia de signo
\left|\begin{array}{cccc}a & 2 & 3\\ b & 5 & 6\\ c & 8 & 0\end{array}\right| = -\left|\begin{array}{cccc} 2 & a & 3 \\ 5 & b & 6 \\ 8 & c & 0\end{array}\right|

 Si en un det. alguna de las líneas son todo ceros, el det. vale cero.
\left|\begin{array}{cccc}0 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 0\end{array}\right| = 0

 Un det. con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.
\left|\begin{array}{cccc}a & a & 3\\ b & b & 6\\ c & c & 0\end{array}\right| =0

 Un det. con dos filas proporcionales (o dos columnas proporcionales) vale cero.
\left|\begin{array}{cccc} 2 & 4 & 1\\ 2 & 4 & 3\\ 3 & 6 & 0\end{array}\right| =0

 Si multiplicamos por un número una línea de un det., el valor del det. también queda multiplicado por dicho número.
\left|\begin{array}{cccc}5\cdot1 & a & 3\\ 5\cdot2 & b & 6  \\ 5\cdot3 & c & 0\end{array}\right| =5 \cdot \left|\begin{array}{cccc}1 & a & 3 \\ 2 & b & 6  \\ 3 & c & 0\end{array}\right|

 Cuando una línea puede descomponerse en suma de dos sumandos , el det. puede descomponerse en una suma de det.
\left|\begin{array}{cccc}     a+b & 2 & 3  \\ c+d & 5 & 6  \\ e+f & 8 & 0\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc}     a & 2 & 3  \\ c & 5 & 6  \\ e & 8 & 0\end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc}     b & 2 & 3  \\ d & 5 & 6  \\ f & 8 & 0\end{array}\right|

 Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de otras filas (o columnas) el determinante sigue valiendo lo mismo.