Propiedades de de los determinantes

Propiedades de los determinantes

Conocer las propiedades de los determinantes nos facilitará su cálculo

- El det. de una matriz es igual al det. de su traspuesta
|A| = |A^t|

- El det. de un producto de matrices es igual al producto de los det. de ambas matrices
|A \cdot B| = |A| \cdot |B|

- Si en un det. intercambiamos dos líneas (filas o columnas) el det. cambia de signo
\left|
\begin{array}{cccc}
a & 2 & 3
\\ b & 5 & 6
\\ c & 8 & 0
\end{array}
\right| = -
\left|
\begin{array}{cccc}
2 & a & 3
\\ 5 & b & 6
\\ 8 & c & 0
\end{array}
\right|

- Si en un det. alguna de las líneas son todo ceros, el det. vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & 2 & 3
\\ 0 & 5 & 6
\\ 0 & 8 & 0
\end{array}
\right| = 0

- Un det. con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & 3
\\ b & b & 6
\\ c & c & 0
\end{array}
\right| =0

- Un det. con dos filas proporcionales (o dos columnas proporcionales) vale cero.
\left|
\begin{array}{cccc}
2 & 4 & 1
\\ 2 & 4 & 3
\\ 3 & 6 & 0
\end{array}
\right| =0

- Si multiplicamos por un número una línea de un det., el valor del det. también queda multiplicado por dicho número.
\left|
\begin{array}{cccc}
5\cdot1 & a & 3
\\ 5\cdot2 & b & 6
\\ 5\cdot3 & c & 0
\end{array}
\right| =5 \cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & a & 3
\\ 2 & b & 6
\\ 3 & c & 0
\end{array}
\right|

- Cuando una línea puede descomponerse en suma de dos sumandos , el det. puede descomponerse en una suma de det.
\left|
\begin{array}{cccc}
a+b & 2 & 3
\\ c+d & 5 & 6
\\ e+f & 8 & 0
\end{array}
\right| =
\left|
\begin{array}{cccc}
a & 2 & 3
\\ c & 5 & 6
\\ e & 8 & 0
\end{array}
\right| +
\left|
\begin{array}{cccc}
b & 2 & 3
\\ d & 5 & 6
\\ f & 8 & 0
\end{array}
\right|

- Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de otras filas (o columnas) el determinante sigue valiendo lo mismo.