Resolución de ecuaciones matriciales

Resolución de ecuaciones matriciales

Es importante recordar algunas propiedades en las que nos basaremos:
- el producto de matrices no es conmutativo
- A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A
- A \cdot I = A = I \cdot A

Para resolver las ecuaciones matriciales, primero despejamos la matriz incógnita y después realizamos las operaciones con matrices resultantes.

Veamos con algunos ejemplos de ecuaciones matriciales, cómo despejar la matriz incógnita:

- X+B=C
Las matrices que estén sumando o restando podemos pasarlas al otro miembro cambiando de signo (igual que en las ecuaciones con números)
\fbox{X=C - B}

- AX+B=C
AX=C - B
Multiplicamos por la inversa a la izquierda en ambos miembros:
A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot (C - B)
I \cdot X=A^{-1} \cdot (C - B)
\fbox{X=A^{-1} \cdot (C - B)}

- XA+B=C
En este ejemplo tenemos que hacerlo por la derecha
XA+B=C
XA=C-B
XA \cdot A^{-1}=(C-B) \cdot A^{-1}
\fbox{X=(C-B) \cdot A^{-1}}

-  AXB+C=D
La matriz $X$ se encuentra multiplicada por una matriz por la izquierda y por otra por la derecha. Debemos multiplicar por la inversa correspondiente a cada lado.
- AXB=D-C (primero pasamos al lado derecho los sumandos)
- A^{-1} \cdot AXB \cdot B^{-1}=A^{-1} \cdot (D-C) \cdot B^{-1}
- $\fboxX=A^-1 \cdot (D-C) \cdot B^-1$

- AX+BX+C=D
AX+BX=D-C (primero pasamos al lado derecho los sumandos)
Podemos sacar factor común porque en ambos términos la matriz X va multiplicando por la derecha
(A+B)X=D-C
multiplicamos por la inversa por la izquierda
(A+B)^{-1} \cdot (A+B)X=(A+B)^{-1} \cdot (D-C)
\fbox{X=(A+B)^{-1} \cdot (D-C)}