Resolver Ecuaciones Matriciales sin aplicar la inversa

Resolver ecuaciones matriciales sin conocer la inversa

- Nos dan una ecuación matricial
- Averiguamos la dimensión de la matriz incógnita
- Asignamos incógnitas (a, b, c, ..) a los elementos de la matriz desconocida.
- Expresamos la ecuación matricial con matrices (con sus elementos)
- Resolvemos las operaciones con matrices, a izquierda y derecha del signo igual, hasta que nos quede una sola matriz a ambos lados del signo igual.
- Aplicamos la igualdad de matrices: igualamos elemento a elemento.
- Resolvemos las ecuaciones resultantes (normalmente son ecuaciones individuales de primer grado o grupos de sistemas de ecuaciones).

Veamos un ejemplo:

Sean las matrices A=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0
\\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
y B=
\left(
\begin{array}{cc}
3 & -1
\\ 1 & 2
\end{array}
\right)

Resuelva la siguiente ecuación matricial A \cdot A^t \cdot X = B

- Deducimos que la matriz X es de orden 2 \times 2 (puesto que A \cdot A^t es de 2x2 y B es también de 2x2)
- Asignamos letras a los elementos de la matriz X
X=
\left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ c & d
\end{array}
\right)
- Expresamos la ecuación matricial A \cdot A^t \cdot X = B en forma de matrices con todos sus elementos:

\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0
\\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1
\\ 1 & 0
\\ 0 & 1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
3 & -1
\\ 1 & 2
\end{array}
\right)

- Hacemos las operaciones con matrices. A la izquierda del signo igual tenemos que hacer dos productos. A la derecha no hay que hacer nada porque ya tenemos una sola matriz.

A \cdot A^t = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0
\\ 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1
\\ 1 & 0
\\ 0 & 1
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 0 & 2
\end{array}
\right)

A \cdot A^t \cdot X= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0
\\ 0 & 2
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 2c & dd
\end{array}
\right)

- Planteamos la igualdad final:
A \cdot A^t \cdot X = B
\left(
\begin{array}{cc}
a & b
\\ 2c & dd
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
3 & -1
\\ 1 & 2
\end{array}
\right)

- Igualamos elemento a elemento:
\left\{
\begin{array}{l}
a =3 \rightarrow \fbox{a=3}
\\ b = -1 \rightarrow \fbox{b=-1}
\\ 2c = 1 \rightarrow \fbox{c=1/2}
\\ 2d = 2 \rightarrow \fbox{d=1}
\end{array}
\right.

Por tanto, la matriz es la siguiente \fbox{X=
\left(
\begin{array}{cc}
3 & -1
\\ 1/2 & 1
\end{array}
\right)}