Selectividad Andalucía 2001-1-A2

Sea f la función definida para x \neq 1 por f(x) = \frac{2x^2}{x-1}

- (a) Determina las asíntotas de la gráfica de f
- (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f
- (c) Esboza la gráfica de f

SOLUCIÓN

- a) Asíntota vertical \fbox{x=1} porque \lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x) = \infty

Asíntota horizontal NO HAY porque \lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty

La asíntota oblicua es una recta de ecuación y=mx+n , donde m y n se calculan con las expresiones siguientes:

m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}
n =  \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[f(x) -mx\right]

Si lo aplicamos a la función f(x) obtenemos:
m = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x^2}{x}}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2}{x^2-x}=2
n =  \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left[\frac{2x^2}{x-1} -2x\right] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{x-1}=2

La Asíntota oblicua es \fbox{y=2x+2}

- b) Monotonía y extremos
f'(x)=0 \Rightarrow \frac{2x^2-4x}{(x-1)^2}=0 \Rightarrow x=0 ; x=2
Los intervalos a considerar son (-\infty,0) , (0,2) y (2,+\infty)

Si aplicamos f'(x) a un punto de cada intervalo obtenemos:
f'(-1)=1.5 > 0 \rightarrow es creciente en (-\infty,0)
f'(0.5)=-6 < 0 \rightarrow es decreciente en (0,2)
f'(3)=1.5 > 0 \rightarrow es creciente en (2, +\infty)

Como la función es continua en cada uno de lo tres nitervalos, concluimos que hay un máximo en x=0 y un mínimo en x=2.
Calculamos la segunda coordenada:
f(0)=0 \rightarrow MAX(0,0)
f(2)=8 \rightarrow MIN(2,8)

c) Veamos la gráfica