Selectividad Andalucía 2001-1-B1

Sea la función f: R \longrightarrow R definida por:


f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
5x+10 &   si  & x \leq -1 \\
\\ x^2-2x+2 &  si &  x > -1
\end{array}
\right.

- (a) Esboza la gráfica de f
- (b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abcisas y la recta x=3

SOLUCIÓN

- (a) Dibujamos la función a trozos: un trozo es una recta (que llega hasta -1) y el otro trozo es una parábola (desde -1 en adelante).
Para dibujar la recta nos bastan un par de puntos (uno de ellos debe ser el -1)
Para dibujar la parábola podemos calcular vértice, corte con los ejes, y las imágenes de algunos puntos (como -1 y 3).
En definitiva nos quedaría la siguiente imagen

- (b) Para calcular el área que nos piden debemos hacer una suma de dos integrales: de diferentes colores en la siguiente imagen:

El área total sería:

A = \int_{-2}^{-1} (5x+10)dx +  \int_{-1}^{3} (x^2-2x+2)dx=

A = \left. \frac{5x^2}{2}+10x \right]_{-2}^{-1} + \left. \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{-1}^{3} =\frac{71}{6} u^2