Selectividad Andalucía 2001-2-A2

Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x , considera la función f : (0, +\infty) \longrightarrow R definida por f(x) = x \cdot Ln(x) . calcula:

- (a) \int f(x) dx
- (b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1,0)

SOLUCIÓN

- (a) Nos piden hallar la integral indefinida \int x \cdot ln(x) dx
Las integrales del tipo polinómica por logarítmica se resuelven por partes aplicando la fórmula \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du
u = ln(x) \longrightarrow du = \frac{1}{x}dx
dv = xdx \longrightarrow v = \int xdx = \frac{x^2}{2}

\int x ln(x) dx = ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx=
ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C

Por tanto, cualquier primitiva tendrá la forma:
F(x) = ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C

- (b) Una primitiva que pase por (1,0) siginifica que F(1)=0
F(1) = ln(1) \cdot \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} + C = 0
Haciendo cálculos y despejando, obtenemos que C=1/4, por tanto, la primitiva que nos piden es:

F(x) = ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \frac{1}{4}