Selectividad Andalucía 2001-3-B3

Considera el sistema
\left.
\begin{array}{ccc}
mx+ y -z & = & 1 \\
x - my+ z & = & 4 \\
x + y+ mz & = & m
\end{array}
\right\}

- a) Discútelo según los valores de m
- b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

SOLUCIÓN

- a) \left.
\begin{array}{ccc}
mx+ y -z & = & 1 \\
x - my+ z & = & 4 \\
x + y+ mz & = & m
\end{array}
\right\}
Expresamos la matriz de los coeficiente y la matriz ampliada:

 A | A^*= \left(
\begin{array}{ccc|c}
m & 1 & -1   & 1 \\
1 & -m & 1 & 4 \\
1 & 1 & m & m
\end{array}
\right)

Calculamos determinante de A
|A | = \left|
\begin{array}{ccc}
m & 1 & -1  \\
1 & -m & 1 \\
1 & 1 & m
\end{array}
\right| = -m^3-3m

Veamos en qué casos valdrá cero.

|A| = 0 \l \Leftrightarrow -m^3-3m=0 \Leftrightarrow m=0

- Si m \neq 0 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A) = 3
Como rang(A*) = 3 y el número de incógnitas es también 3, el sistema será Compatible Determinado (T. Rouche).

- Si m=0 veamos lo que ocurre:
Sustituimos m por 0 y calculamos los rangos de A y A*

A | A^* = \left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & -1   & 1 \\
1 & 0 & 1 & 4 \\
1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
\right)

\left|
\begin{array}{cc}
0 & 1   \\
1 & 0
\end{array}
\right| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2

\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1  \\
1 & 0 & 4 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right| \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3

Al ser los rangos distintos, el sistema es Icompatible