Selectividad Andalucía 2004-1-B2

Sea la función f(x)=\frac{4x-1}{2x-2}

- a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y
represéntela gráficamente.
- b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto de abscisa x = 0.

SOLUCIÓN

- a) 2x-2=0 \Rightarrow x=1
Dom(f) = R - \{1\}

Corte con los ejes
x=0 \longrightarrow y=1/2 Punto de corte (0,1/2)
y=0 \longrightarrow 0=\frac{4x-1}{2x-2}  \longrightarrow 0=4x-1  \longrightarrow x=1/4 Punto de corte (1/4, 0)

Asíntotas
Horizontal: y=2 Vertical: x=1

Gráfica: Se trata de una hipérbola. Dibujamos las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y calculamos algunos puntos más. Obtenemos la siguiente gráfica:

- b) La ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto 0 es:
y-f(0) = f'(0) \cdot (x-0)
Calculamos los datos necesarios:
f(x)=\frac{4x-1}{2x-2} \longrightarrow f(0)=\frac{1}{2}
f'(x)=\frac{-6}{(2x-2)^2} \longrightarrow f'(0)=\frac{-3}{2}

La ecuación quedaría y-\frac{1}{2} = \frac{-3}{2} \cdot x