Selectividad Andalucía 2006-3-B2

El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = \frac{x^2}{a} y y=\sqrt{ax} con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.

SOLUCIÓN

Para hallar el área entre dos curvas, en primer lugar calculamos sus puntos de corte:

\frac{x^2}{a} = \sqrt{ax} \longrightarrow \frac{x^4}{a^2} = ax \longrightarrow x^4=a^3x \longrightarrow  x^4-a^3x = 0
Si resolvemos la ecuación obtenemos como soluciones x=0 y x=a

El área sería (tomamos valor absoluto y así no necesitamos saber la función está por encima ni la que está por debajo):

A = \left|  \int_0^a \left( \frac{x^2}{a}-\sqrt{ax} \right) dx \right|

= \left| \left. \frac{x^3}{3a}- \frac{a^{1/2} x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a \right|=  \left| \frac{-a^2}{3} \right| = \frac{a^2}{3}

Como nos dice el enunciado que el área vale 3, igualando obtememos:

\frac{a^2}{3} = 3 \longrightarrow a^2=9 \longrightarrow \fbox{a=3}

Recordemos que a es positivo según el enunciado.