Selectividad Andalucía 2009-1-A4

Considera el punto A(1,-2,1) y la recta r definida por las ecuaciones

\left\{
\begin{array}{lll}
x+y &=&2
\\2x+y+z&=&7
\end{array}
\right.

- a) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A
- b) Calcula la distancia del punto A a la recta r

SOLUCIÓN

- a) Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta nos valdrá como vector normal del plano.
Dado que tenemos un punto por donde pasa y su vector normal, podemos determinar la ecuación del plano.

En primer lugar hallamos el vector director de la recta (mediante alguno de los procedimientos descritos en los apuntes. Usaremos este: obtenemos un par de puntos de la recta y a partir de ellos el vector director

Si x=0 \longrightarrow y=2 (en la 1ª ecuación)
2 \cdot 0 + 2 + z = 7 \longrightarrow z=5 (en la 2ª ecuación)
El primer punto sería (0,2,5)

Si y=0 \longrightarrow x=2 (en la 1ª ecuación)
2 \cdot 2 + 0 + z = 7 \longrightarrow z=3 (en la 2ª ecuación)
El segundo punto sería (2,0,3)

El vector director de la recta será (2,-2,-2), por tanto el plano tendrá como ecuación 2x -2y-2z+D=0

Ahora le hacemos pasar por el punto A(1,-2,1) y obtenemos el valor de D
2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) -2  \cdot 1+D=0
2+4 -2+D=0  \longrightarrow  D=-4

Ecuación del plano que nos piden: 2x -2y-2z-4=0
que se puede simplificar, quedando \fbox{x -y-z-2=0}

- b) Para hallar la distancia del punto (A) a la recta (r) usaremos la fórmula

d(A,r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

donde P es un punto cualquiera de la recta y \vec{v} su vector director.

Para hallar el vector \vec{PA} usaremos uno de los puntos obtenidos en el apartado a), por ejemplo (0,2,5) y el punto A(1,-2,1), quedando \vec{PA}=(1,-4,-4)
El vector director de la recta también lo tenemos del apartado anterior \vec{v}=(2,-2,-2)
Aplicamos la fórmula y calculamos:

d(A,r) = \frac{|\vec{PA} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|(1,-4,-4) \times (2,-2,-2)|}{|(2,-2,-2)|} Hacemos previamente el producto vectorial en el numerador y queda (0,-6,6) d(A,r) =\frac{|(0,-6,6)|}{|(2,-2,-2)|} = \frac{\sqrt{0^2+(-6)^2+6^2}}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} = \fbox{\sqrt{6}}