Selectividad Andalucía 2010-6-A2

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Sea la función f(x)=2x^2+ax+b

– a) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo local en el punto de abscisa x=-2.
– b) Tomando a = 8 y b = -10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.

SOLUCIÓN

– a) Pasa por (1,3) \longrightarrow f(1)=3
2\cdot1^2+a\cdot 1+b = 3 \longrightarrow \fbox{a+b=1}
Extremo en x=-2 \longrightarrow f^{\prime}(-2)=0
f^{\prime}(x)=4x+a
f^{\prime}(-2)=4\cdot (-2)+a =0 \longrightarrow \fbox{a=8}
Por tanto \fbox{b=-7}

– b) Si a = 8 y b = -10 la función f(x)=2x^2+8x-10 es una parábola convexa de vértice en el punto de abcisa x=-2. Corta al eje de abcisas en los puntos x=-5 y x=1.
Por tanto:
– La función es convexa en todo su dominio.
– Tiene un mínimo en el punto (-2,-18)
– Se anula para x=-5 y x=1