Selectividad Andalucía 2012-1-A3

Considera las matrices
A = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}
\right) \aquad B = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right) \aquad C = \left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C^t, siendo C^t la matriz traspuesta de C

SOLUCIÓN

En primer lugar resolvemos la ecuación matricial
AXB = C^t
A^{-1}\cdot AXB \cdot B^{-1} =A^{-1}\cdot  C^t \cdot B^{-1}
X =A^{-1}\cdot  C^t \cdot B^{-1}

Calculamos A^{-1} , C^t y B^{-1} y hacemos el producto

X =
\left(
\begin{array}{ccc}
-3 & -2 & 4 \\
2 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}
\right) \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
2 & 1 \\
0  & 2
\end{array}
\right) \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}
\right)= \fbox{
\left(
\begin{array}{cc}
3 & -1 \\
-1 & 0 \\
1  & 1
\end{array}
\right)}