Selectividad Andalucía 2012-1-A3

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Considera las matrices
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad C = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right)
Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB = C^t, siendo C^t la matriz traspuesta de C

SOLUCIÓN

En primer lugar resolvemos la ecuación matricial
AXB = C^t
A^{-1}\cdot AXB \cdot B^{-1} =A^{-1}\cdot C^t \cdot B^{-1}
X =A^{-1}\cdot C^t \cdot B^{-1}

Calculamos A^{-1} , C^t y B^{-1} y hacemos el producto

X = \left( \begin{array}{ccc} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)= \fbox{ \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right)}