Selectividad Andalucía 2012-1-A4

El punto M(1,-1,0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,-1) y B(0,-2,3) son dos vértices consecutivos del mismo.
- (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.
- (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

SOLUCIÓN

Consideremos el siguiente diagrama:

- a) Tenemos 3 puntos del plano (A, B y M), por tanto podemos tener dos vectores independientes y un punto (y con ellos la ecuación del plano). Tomamos como vectores \vec{MA}=(1,2,-1) y \vec{MB}=(-1,-1,3) y como punto M(1,-1,0)

\pi: \left| \begin{array}{ccc}
x-1 & y+1 & z-0 \\
1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 3
\end{array} \right| = 0

Resolviendo el determinante y simplificando obtenemos:
\fbox{5x-2y+z-7=0}

- b) Para calcular los vértices C y D podemos aprovechar la fórmula del punto medio de un segmento. M es el punto medio del segmento \overline{AC}

(m_1, m_2, m_3) = \left( \frac{a_1+c_1}{2} ,\frac{a_2+c_2}{2} , \frac{a_3+c_3}{2} \right)
(1, -1, 0) = \left( \frac{2+c_1}{2} ,\frac{1+c_2}{2} , \frac{-1+c_3}{2} \right)
Igualando componente a componente obtenemos 3 ecuaciones (de las que se obtienen los valores de las incógnitas c_1, c_2 y c_3
1 =  \frac{2+c_1}{2} \Longrightarrow c_1=0
-1 = \frac{1+c_2}{2} \Longrightarrow c_2=-3
0 = \frac{-1+c_3}{2} \Longrightarrow c_3=1
Por tanto, el punto es C(0,-3,1)

Análogamente podemos obtener el punto D, tomando M como punto medio del segmento \overline{BD}.
Se obtiene D(2,0,-3)

El área del paralelogramo viene determinada por el módulo del vector producto vectorial \vec{AB} \times \vec{AC}
A = |\vec{AB} \times \vec{AC}|

\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\
-2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & -2
\end{array} \right| = 10\vec{i} -4\vec{j} + 2\vec{k}

A = |(10,-4,2)| = \sqrt{10^2+(-4)^2+2^2} = \sqrt{120} unidades cuadradas