Selectividad Andalucía 2012-1-B4

Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26\% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el coche particular.

- a) Establezca un contraste, con hipótesis nula H_0: p \geq 0.26, para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5\%.
- b) Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe del Ayuntamiento?

SOLUCIÓN

Se trata de un contraste de hipótesis para proporción de tipo unilateral (Ver Teoría)

Contraste

H_0: p \geq 0.26 (hipótesis nula)
H_1: p < 0.26 (hipótesis alternativa)

Región de aceptación (R)

R = \left( p_o-Z_\alpha \cdot \sqrt{\frac{p_o \cdot (1-p_o)}{n}}, +\infty \right)

- p_0 = 0.26
- n = 1000 (tamaño de la muestra)
- \overline{p} = \frac{240}{1000}=0.24 (proporción de la muestra)
- z_{\alpha} al 95\%
P(Z \leq z_{\alpha}) = 0.95

Miramos la tabla de la N(0,1) y vemos que los mas próximo a 0.95 es 0.9495 (1.64) y 0.9505(1.65). Tanto si tomamos 1.64, como si tomamos 1.65 nos deberían dar el resultado por bueno, no obstante, como está a la misma distancia de ambos, voy a tomar 1.645 (la mitad entre 1.64 y 1.65).
Por tanto z_{\alpha}=1.645

La región de aceptación sería:

R = \left( 0.26-1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.26 \cdot 0.74}{1000}}, +\infty \right)

R = \left( 0.237, +\infty \right)

La región de rechazo (región crítica) sería: (-\infty, 0.237)

Como la proporción de la muestra está dentro de la región de aceptación \overline{p} = 0.24 \in (0.237, +\infty) , aceptamos la hipótesis nula (p \geq 0.26) de que al menos el 26\% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril.