Selectividad Andalucía 2012-4-B2

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función
B(t) =
\left\{
\begin{array}{lcr}
at - t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\
\\ 2t & si & 6 <  t \leq 10 \\
\end{array}
\right.
siendo t el tiempo transcurrido en años.

- a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea un función continua.
- b) Para a=8 represente su gráfica e indique en qué periodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.
- c) Para a=8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

SOLUCIÓN

- a) En los intervalos (0,6) y (6,10) la función es continua por ser polinómica en ambos casos.
Para que también sea continua en el punto x=6 (punto que separa ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto: debe existir f(6) y además coincidir con ambos límites laterales.
a \cdot 6 - 6^2 = 2 \cdot 6 , de donde \fbot{a=8}
- b) Ver gráfica en el archivo adjunto. La función crece en (0,4) , decrece en (4,6) y vuele a crecer en (6,10). Por tanto: el beneficio crece durante los primeros 4 años, decrece en los dos años siguientes y vuelve a crecer en los 4 últimos años.
- c) En los 6 primeros años el máximo está en el vértice de la parábola: (4, 16). Dado que el tiempo está en años y el Beneficio en millones de euros, el beneficio máximo es de 16 millones y se obtiene a los 4 años.