Selectividad Andalucía 2013-2-B1

Sean las matrices
A=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{1}{5} & 0
\\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}
\end{array}
\right)
, B=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{3}{5} & -1
\\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}
\end{array}
\right)
, C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1
\\ 2 & 1 & 3
\end{array}
\right)

- a) Resuelva la ecuación matricial (2A+B) \cdot X = 3A - B
- b) Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: C \cdot D+A , C^t \cdot D \cdot C , D \cdot C^t , C \cdot D \cdot C^t

SOLUCIÓN

- a) Aunque las matrices tienen fracciones, se pueden usar decimales puesto que todas las fracciones son quintos (decimales exactos).

(2A+B) \cdot X = 3A - B (sustituimos las matrices conocidas)

\left[ 2 \cdot \left(\begin{array}{cc}     \frac{1}{5} & 0  \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{cc}     \frac{3}{5} & -1  \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right) \right] \cdot X = 3 \cdot \left(\begin{array}{cc}     \frac{1}{5} & 0  \\ -\frac{2}{5} & \frac{3}{5}\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}     \frac{3}{5} & -1  \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right)

Realizamos las operaciones posibles (a izquierda y derecha del signo igual)

\left(\begin{array}{cc}     1 & -1  \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot X =\left(\begin{array}{cc}     0 & 1  \\ -2 & 1\end{array}\right)

Ahora podemos concluir claramente que la matriz X es de dimensión 2 \times 2, por lo que podemos asignarle incógnitas a sus elementos:

\left(\begin{array}{cc}     1 & -1  \\ 0 & 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}     a & b  \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}     0 & 1  \\ -2 & 1\end{array}\right)

Operamos a la izquierda del signo igual:\left(\begin{array}{cc}     a-c & b-d  \\ 2c & 2d \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}     0 & 1  \\ -2 & 1\end{array}\right)

Igualando elemento a elemento obtenemos:

a=-1 , c=-1 , b=1.5 , d=0.5

Por tanto la matriz es X =\left(\begin{array}{cc}     -1 & 1.5  \\ -1 & 0.4 \end{array}
\right)

- b) C \cdot D+A \longrightarrow D es de dimensión 3 \times 2
C^t \cdot D \cdot C \longrightarrow  D es de dimensión 2 \times 2
D \cdot C^t \longrightarrow D es de dimensión n \times 3 (con n \in N
C \cdot D \cdot C^t \longrightarrow D es de dimensión 3 \times 3