Selectividad Andalucía 2013 - J - B1

Sea f \: : \: (-\infty, 1) \rightarrow R la función definida por
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
x+2e^{-x} &   si  & x \leq 0 \\
\\
\\ a \sqrt{b-x} &  si  & x > 0
\end{array}
\right.
- a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
- b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica f en el punto de abcisa x=0

SOLUCIÓN

- a) Como f es derivable podemos expresar la derivada como

f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
1-2e^{-x} &   si  & x \leq 0 \\
\frac{-a}{2 \sqrt{b-x}} &  si  & x > 0
\end{array}
\right.

Al ser derivable en x=0 sus derivadas laterales serán iguales:

f'(0^+) = f'(0^-)
1-2e^{-0} = \frac{-a}{2 \sqrt{b-0}} \Rightarrow -1=\frac{-a}{2\sqrt{b}} \Rightarrow a=2\sqrt{b}

Por otra parte, como derivable implica continua, f debe ser continua en x=a, lo cual nos indica que:
0+2e^{-0} = a \sqrt{b-0} \Rightarrow 2=a\sqrt{b}

Resolviendo el sistema  \left\{ \begin{array}{l}
a=2\sqrt{b}
\\ 2=a\sqrt{b}
\end{array}
\right. obtenemos \fbox{a=2} y \fbox{b=1}

- b) Aplicamos las fórmulas de las rectas tangente y normal
y-f(a) = f'(a) \cdot (x-a) (recta tangente)
y-f(a) = \frac{-1}{f'(a)} \cdot (x-a) (recta normal)
para x=0 y f(x)=x+2e^{-x} (el 0 está definido por el primer trozo)

Obtenemos: \fbox{y-2=-x} y \fbox{y-2=x}