Selectividad Andalucía 2014-2-B1

- a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad
\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1
\\ 3 & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
x
\\ -y
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
1 & x
\\ y & -1
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
3
\\ 0
\end{array}
\right)
- b) Resuelva la ecuación matricial
X \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 3
\\ 2 & 5
\end{array}
\right) - 2 \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
0 & -1
\\ -1 & 0
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2
\\ 3 & -1
\end{array}
\right)

SOLUCIÓN

Hacemos los productos de matrices (a izquierda y derecha del signo igual) y obtenemos:
\left(\begin{array}{c}     2x+y  \\ 3x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}     3  \\ 3y\end{array}\right)
Ante una igualdad de matrices, igualamos elemento a elemento
\left.\begin{array}{c}     2x+y = 3  \\ 3x+y = 3y\end{array}\right\}
Hemos obtenido un sistema de 2x2, que ordenamos y resolvemos
\left.\begin{array}{c}     2x+y = 3  \\ 3x-2y = 0\end{array}\right\}
Se obtienen como soluciones x=\frac{6}{7} ; y=\frac{9}{7}

- b) De la ecuación matricial, se deduce que la matriz X es de dimensión 2 \times 2. Supongamos que sea X=\left(\begin{array}{cc}     a & b  \\ c & d\end{array}\right)
La ecuación matricial quedaría:
\left(\begin{array}{cc}     a & b  \\ c & d\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}     1 & 3  \\ 2 & 5\end{array}\right) - 2 \cdot\left(\begin{array}{cc}     0 & -1  \\ -1 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}     1 & 2  \\ 3 & -1\end{array}\right)
Realizamos las operaciones a izquierda del signo igual y obtenemos:\left(\begin{array}{cc}     a+2b & 3a+5b+2  \\ c+2d+2 & 3c+5d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}     1 & 2  \\ 3 & -1\end{array}\right)
Ante una igualdad de matrices igualamos elemento a elemento y obtenemos:

a+2b=1
3a+5b+2=2
c+2d+2=3
3c+5d=-1
Hemos obtenido dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas (uno con las incógnitas a y b y otro con las incógnitas c y d.
Ordenamos y resolvemos ambos sistemas, obteniendo como soluciones:
\fbox{a=-5}
\fbox{b=3}
\fbox{c=-7}
\fbox{d=4}