Teorema de los cosenos

A partir de un triángulo (ver imagen) de vértices A, B y C y de lados conocidos a, b y c

- (a) Calcula sus ángulos \^{A} , \^{B} y \^{C} en función de sus lados
- (b) Calcula la distancia del segmento AO conociendo los ángulos \beta_1 y \beta_2

SOLUCIÓN

- (a) En un triángulo del que conocemos sus lados, es posible calcular sus ángulos utilizando el teorema de los cosenos:

a^2 = b^2+c^2 - 2ab \cdot cos \^{A}

El teorema es válido para los tres ángulos, pero debemos tener en cuenta la nomenclatura usada:

- El ángulo \^{A} corresponde al vértice A
- El lado a es el lado opuesto al vértice A
- Igual para los otos lados y ángulos

En la fórmula del teorema del coseno, podemos despejar el coseno y tendríamos:
2ab \cdot cos \^{A}  = b^2+c^2 - a^2
cos \^{A}  = \frac{b^2+c^2 - a^2}{2ab}

\^{A}  = arc \: cos \left( \frac{b^2+c^2 - a^2}{2ab} \right)

Podríamos aplicar la misma fórmula para el segundo ángulo:

\^{B}  = arc \: cos \left( \frac{a^2+c^2 - b^2}{2ac} \right)

Y para el tercero: \^{C} = 180 - (\^{A} + \^{B}) = 180-\^{A}-\^{C}+\beta_1-\beta_2

- (b) Del triángulo AOB conocemos sus ángulos \^{A} - \beta_1 y \^{C} + \beta_2.
Podemos calcular el tercer ángulo:
\^{O} = 180 - \left( (\^{A} - \beta_1) + (\^{C} + \beta_2) \right)
\^{O} = 180 - \^{A} - \^{C} + \beta_1 - \beta_2

Como conocemos el lado c, podemos aplicar el teorema de los senos:

\frac{c}{sen \: \^{O}} = \frac{AO}{ sen (\^{C} + \beta_2) }

De donde:

AO = \frac{c \cdot  sen (\^{C} + \beta_2) }{sen \: \^{O}}