UNED A25 - 2013 Junio Modelo A Ejercicio 4

¿Tiene alguna solución el siguiente sistema?
\left\{
\begin{array}{ll}
2x+y=12 \\
x-y=-4 \\
-x+2y=9
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

Discutimos el sistema mediante el teorema de Rouché.
Para ello calculamos el rango de la matriz de los coeficientes(A) y el rango de la matriz ampliada(A*)

A|A^*=\left(
\begin{array}{cc|c}
2 & 1& 12 \cr
1& -1 &-4 \cr
-1 & 2 &9
\end{array}
\right)

\left|
\begin{array}{cc}
2 & 1 \cr
1& -1
\end{array}
\right| = -3 \neq 0 \Longrightarrow r(A)=2

\left|
\begin{array}{ccc}
2 & 1& 12 \cr
1& -1 &-4 \cr
-1 & 2 &9
\end{array}
\right| = 5 \Longrightarrow r(A^*)=3

Como ambos rangos son distintos, el teorema de Rouché nos dice que el Sistema es incompatible y por tanto no tiene ninguna solución.