Valores parámetros función trozos derivable

Calcula los valores de b y c para que la siguiente función sea derivable en el punto x=2


f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
x^2+bx+c &   si  & x < 2 \\
\\ x &  si  & x \geq 2
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

La función derivada es de la forma:


f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
2x+b &   si  & x < 2 \\
\\ 1 &  si  & x > 2
\end{array}
\right.

Para que sea derivable en x=2 se tiene que cumplir que f'(2^+)=f'(2^-)
f'(2^-)=2 \cdot 2 + b = 4+b
f'(2^+)=1

Por tanto: 4+b=1 \Rightarrow \fbox{b=-3}

Por otra parte sabemos que derivable \Rightarrow continua, por tanto debe ser continua en x=2 y por ello deben coincidir ambos límites laterales:
\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)
2^2 + b \cdot 2 + c = 2. Como b=-3 , tenemos que:
2^2 + (-3) \cdot 2 + c = 2
4 -6 +c=2 \Rightarrow \fbox{c=4}