Vectores. Producto escalar y vectorial

Considera los puntos A(0,0,1) , B(1,0,-1) , C(0,1,-2) y D(1,2,0) - a) Calcula el módulo de los vectores \vec{AB} y \vec{AC} - b) Los vectores \vec{AB} , \vec{AC} y \vec{AD} ¿son linealmente independientes? - c) Calcula el producto escalar \vec{AB} \cdot \vec{AC} - d) Halla el área del triángulo determinado por los puntos A , B y C

SOLUCIÓN

- a) \vec{AB} = (1,0,-2)
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}
\vec{AC} = (0,1,-3)
|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{10} - b) \vec{AB} = (1,0,-2) , \vec{AC} = (0,1,-3) , \vec{AD} = (1,2,-1)
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -3 \\
1 & 2 & -1
\end{array} \right| = 9 \neq 0   \Longrightarrow son linealmente independientes - c) \vec{AB} \cdot \vec{AC} =1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) =6 - d) \vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & -3
\end{array} \right| = 2 \vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}
Área = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|=
= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^2+3^2+1^2}= \frac{\sqrt{14}}{2} \: u^2