problema programación lineal

Un comerciante dispone de 50 m^2 de piel de armiño, 60 m^2 de piel de zorro y 80 m^2 de cuero. Fabrica dos tipos de abrigos: A y B. Para los abrigos de tipo A usa 1 m^2 de piel de armiño, 2 m^2 de piel de zorro y 3 m^2 de cuero. Para los abrigos de tipo B usa 3 m^2 de piel de armiño, 2 m^2 de piel de zorro y 2 m^2 de cuero. Los abrigos de tipo A los vende a 800€ y los de tipo B a 1900€. ¿cuántos abrigos tiene que fabricar de cada tipo para obtener unos ingresos máximos?

SOLUCIÓN

En primer lugar hacemos el clásico esquema (aplicable a casi todos los problemas de programación lineal)

La función objetivo, en este caso ingresos máximos, será:
F(x,y)=800x + 1900y

Dibujamos la región factible (mediante las inecuaciones anteriores)

Calculamos los vértices del recinto solución:

- A(0, 50/3)
- B(20, 10)
- C(80/3, 0)
- D(0, 0)

Aplicamos la función objetivo a todos los vértices:

- F(0, 50/3) = 800 \cdot 0 + 1900 \cdot 50/3 = 31166.666\cdots
- F(20, 10) = 800 \cdot 20 + 1900 \cdot 10 = 35000
- F(80/3, 0) = 800 \cdot 80/3 + 1900 \cdot 0 = 21333.333\cdots
- F(0, 0) = 800 \cdot 0 + 1900 \cdot 0 = 0

Por tanto, los ingresos máximos (35000 euros) se obtendrían fabricando 20 abrigos de tipo A y 10 abrigos de tipo B