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Ej 1 de Combinación Lineal

Expresa el vector $\vec{u}(3,4)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{a}(1,2)$ y $\vec{b}(3,5)$

SOLUCIÓN

$\vec{u} = \alpha \cdot \vec{a} + \beta \cdot \vec{b}$

$(3,4) = \alpha \cdot (1,2) + \beta \cdot (3,5)$

$(3,4) = (\alpha \cdot 1,\alpha \cdot 2) + (\beta \cdot 3,\beta \cdot 5)$

$(3,4) = (\alpha,2 \alpha) + (3 \beta ,5 \beta)$

$(3,4) = (\alpha+ 3 \beta,2 \alpha + 5 \beta)$

Si igualamos componente a componente obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\left. \begin{array}{ccc} \alpha+ 3 \beta = 3 \\ 2 \alpha + 5 \beta = 4 \end{array} \right\}$

Resolvemos el sistema por sustitución:
Despejamos en la primera ecuación
$\alpha = 3 - 3 \beta$
Y sustituimos en la segunda
$2 \cdot (3 - 3 \beta )+ 5 \beta = 4$
$6 - 6 \beta + 5 \beta = 4$
$6 - 4 = 6 \beta - 5 \beta$
$\fbox{2 = \beta}$

$\alpha = 3 - 3 \beta$
$\alpha = 3 - 3 \cdot 2$
$\fbox{ \alpha = - 3 }$

Por tanto, a combinación lineal que nos piden es:

$\fbox{ \vec{u} = -3 \vec{a} + 2 \vec{b} }$