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Sabiendo que $tg \: \alpha = \frac{2}{3}$ y que $0^o < \alpha < 90^o$ , halla $sen \: \alpha$ y $cos \: \alpha$

Dado que conocemos la tangente, usaremos la fórmula

$\fbox{tg^2(\alpha) + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}}$

para calcular el coseno.

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

$\frac{13}{9}=\frac{1}{cos^2(\alpha)}$

Multiplicamos en cruz y obtenemos:

$13 \cdot cos^2(\alpha) = 9 \longrightarrow cos^2(\alpha)=\frac{9}{13} \longrightarrow cos(\alpha)=\pm \sqrt{\frac{9}{13}}$

Como $0^o < \alpha < 90^o$ entonces el coseno es positivo. Por tanto:

$cos(\alpha)=+ \sqrt{\frac{9}{13}}$

Ahora que tenemos coseno y tangente, podemos calcular el seno:

$tg (\alpha) = \frac{sen (\alpha) }{cos (\alpha) } \longrightarrow tg (\alpha) \cdot cos (\alpha) = sen (\alpha)$

$sen (\alpha) = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$