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Funciones Optimización

Disponemos de 48 metros de valla de alambre. Queremos cercar un rectángulo de superficie la mayor posible. ¿Cuáles serían las dimensiones del rectángulo?

SOLUCIÓN

En la imagen tenemos el rectángulo a vallar.

El perímetro a vallar es

El área es $x \cdot y$ , que es la función a maximizar y que debemos dejar con una sola variable.

$2x+2y=48 \longrightarrow 2y=-2x+48 \longrightarrow y=-x+24$

Por tanto, podemos expresar el área como:

$A(x) =x \cdot y =x \cdot (-x+24) = -x^2+24x$

La buscamos un máximo:

$A^{\prime}(x) =-2x+24$

$A^{\prime}(x) =0 \longrightarrow -2x+24=0 \longrightarrow x=12$

Como $A^{\prime \prime}(x) =-2$ es negativa siempre, efectivamente se trata de un máximo (x=12)

Por tanto las dimensiones serían $\textcolor{blue}{12\:m \times 12\:m}$