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Selectividad Andalucía 2001-3-B3

Considera el sistema
$\left. \begin{array}{ccc} mx+ y -z & = & 1 \\ x - my+ z & = & 4 \\ x + y+ mz & = & m \end{array} \right\}$

– a) Discútelo según los valores de
– b) ¿Cuál es, según los valores de , la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

SOLUCIÓN

– a) $\left. \begin{array}{ccc} mx+ y -z & = & 1 \\ x - my+ z & = & 4 \\ x + y+ mz & = & m \end{array} \right\}$
Expresamos la matriz de los coeficiente y la matriz ampliada:

$A | A^*= \left( \begin{array}{ccc|c} m & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -m & 1 & 4 \\ 1 & 1 & m & m \end{array} \right)$

Calculamos determinante de A
$|A | = \left| \begin{array}{ccc} m & 1 & -1 \\ 1 & -m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{array} \right| = -m^3-3m$

Veamos en qué casos valdrá cero.

$|A| = 0 \l \Leftrightarrow -m^3-3m=0 \Leftrightarrow m=0$

– Si $m \neq 0 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A) = 3$
Como y el número de incógnitas es también 3, el sistema será Compatible Determinado (T. Rouche).

– Si veamos lo que ocurre:
Sustituimos m por 0 y calculamos los rangos de A y A*

$A | A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$\left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2$

$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3$

Al ser los rangos distintos, el sistema es Icompatible