Publicar un mensaje

En respuesta a:

04 - Posición relativa de tres planos

Dados tres planos en ecuación general:

$\pi_1 \equiv A_1x+B_1y+C_1z = D_1$
$\pi_2 \equiv A_2x+B_2y+C_2z = D_2$
$\pi_3 \equiv A_3x+B_3y+C_3z = D_3$

podemos estudiar su posición relativa discutiendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Para ello, usaremos el teorema de Ruché, analizando el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada .

$A|A^*= \left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array} \right. \left| {\begin{array}{c} D_1 \\ D_2 \\ D_3 \end{array} } \right)$

Los casos posibles son:

– , S.C.I. Los tres planos son coincidentes. Al valer ambos rangos 1, se trata de una misma ecuación del plano
– , S. Incomp. Los tres planos son paralelos (al ser r(A)=1) y sin ningún punto en común (al ser S.I.). Pueden ser los 3 distintos o bien dos de ellos coincidentes.
– , S.C.I. Los tres planos se cortan en una recta. Pueden ser dos de ellos coincidentes o los tres distintos
– , S. Incomp. No tienen ningún punto en común. Se cortan en una recta dos a dos, o bien hay dos paralelos y el tercero corta a ambos.
– , S.C.D. Tienen un sólo punto en común. Los tres planos se cortan en un punto

Varios planos cortándose en una recta