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Integración por Sustitución. Ejemplo 2

En este ejemplo $\int \frac{dx}{1+e^x}$ hacemos un cambio de variable y la transformamos en una integral racional.

Hacemos el cambio:

Derivamos (a la izquierda respecto de "x" y a la derecha respecto de "t")

Con lo cual:

$dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t-1}$

Ahora sustituimos:
$\int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{\frac{dt}{t-1}}{t} = \int \frac{dt}{t(t-1)}$

Es aconsejable repasar el método para integrales racionales con raíces reales simples.

$\frac{1}{t(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1} = \frac{A(t-1)+Bt}{t(t-1)}$
En la expresión sustituimos t por valores simples para calcular A y B
Si $t=0 \longrightarrow 1=-A \longrightarrow A=-1$
Si $t=1 \longrightarrow 1=B \longrightarrow B=1$
Por tanto:
$\frac{1}{t(t-1)}=\frac{-1}{t}+\frac{1}{t-1}$
$\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{-dt}{t}+\int \frac{dt}{t-1} = -ln|t|+ln|t-1|+C$
Deshacemos el cambio de variable y tenemos que:
$\int \frac{dx}{1+e^x} = -ln|1+e^x|+ln|e^x|+C=x-ln|1+e^x|+C$