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Geometría en la tormenta de nieve

Un explorador queda atrapado en una tormenta de nieve (en el que la nevada es tan espesa que el suelo no se puede distinguir del cielo) mientras regresa al campamento base. Se suponía que debía viajar al norte por 5,89 km, pero cuando la nieve se despeja, descubre que en realidad viajó 7,51 km a 59,0° al norte del este. Presente el procedimiento paso a paso y con base en la anterior información responda las siguientes preguntas:
(a) ¿Qué tanto debe caminar para volver al campamento base?
(b) ¿en qué dirección debe viajar ahora para llegar al campamento base? NOTA: presente su respuesta con respecto al semieje positivo horizontal.

SOLUCIÓN

En la imgen el punto B es el campamento base.

El segmento AC=7.51 es el camino que hizo el explorador
El segmento AB=5.89 es el camino que debería haber hecho.
El segmento BC es la distancia al campamento base, que debemos calcular

En primer lugar calculamos las coordenadas del punto C(x,y)

$cos \: 59 = \frac{x}{7.71} \longrightarrow x=7.51 \cdot cos \: 59 = 3.87$
$sen \: 59 = \frac{y}{7.71} \longrightarrow y=7.51 \cdot sen \: 59 = 6.44$

Por tanto el punto es

La distancia al campamento base es la distancia entre B y C, que se puede calcular como el módulo del vector $\vec{BC}$

$\vec{BC} =(3.87-0 , 6.44-5.89)=(3.87,0.55)$

$d((B,C)= |\vec{BC}| =+\sqrt{3.87^2+0.55^2}=3.91$

Por lo tanto, estaríamos a 3.91 km del campamento base.

Apartado (b)

Calculamos el ángulo que forma el vector $\vec{BC} =(3.87,0.55)$ con el semieje positivo horizontal usando la tangente

$tg\ \alpha = \frac{0.55}{3.87}\ \to\ \alpha = arctg\ \frac{0.55}{3.87} = \bf 8.05^{\circ}$

Por lo tanto, para regresar tendría que caminar 3.91 km en la dirección 8.05º al sur del oeste.